Moderne rekenkunde
Khimradj Pherai
Bussumsestraat 153
2574 JG Den Haag – Nederland
Tel: 070-3235050 / mobiel 0642153517
E-mail:khimradjpherai@casema.nl/ www.khimradjpherai.nl
Den Haag, 13-08-2014
Betreft: Welk land heeft wiskunde uitgevonden, het is door de wijzen van India?
Wiskunde is door India uitgevonden en de Arabieren hebben het meegenomen naar hun land en hierna over de hele wereld is de kennis verspreid. Maar degenen die het hebben verspreid moeten we ook dankbaar zijn. Alle wetenschappers maken hiervan gebruik en op alle scholen is het een verplichte vak geworden. Als mens moeten wij leren om de waarheid te spreken. Uit de onderstaande teksten kunnen wij ons denkwijze corrigeren.
Wanneer het belichaamde wezen aan deze drie geaardheden weet te ontstijgen, kan het verlost raken van geboorte, dood, ouderdom en derzelver verdriet en zelfs in dit reeds nectar beginnen te proeven.
Arjuna vroeg: O mijn lieve Heer, waaraan kent men iemand die boven deze geaardheden verheven is? Hoe gedraagt hij zich? En hoe komt men de geaardheden der natuur te boven?
De Allerhoogste sprak: Wie verlichting, gehechtheid en begoocheling niet haat wanneer ze zich voordoen, noch ernaar verlangt wanneer ze verdwijnen; wie zich onbezorgd betoont en zich buiten bereik van de terugslagen van de geaardheden der stoffelijk natuur bevindt, wie stand houdt, omdat hij weet dat het slechts de geaardheden zijn die actief zijn; wie vreugde en pijn om het even zijn en wie een brok aarde, een steen en een klomp goud met gelijke blik beziet, wie onbewogen blijft in eer en schande, wie geen verschil maakt tussen vriend en vijand, wie alle baatzuchtig streven heeft laten varen – zo iemand heet aan de geaardheden der natuur ontstegen te zijn. Bhagavad –Gita XIV.20-25.
Geen enkele van de groten heeft zich meester genoemd, noch hebben ze zich ooit als zodanig beschouwd. Wat ze in hun leven hebben ervaren, is hun voorrecht, hun hart steeds wijder te openen, om het licht van de Meester te weerspiegelen, die God zelf is.
Alle gezichten zijn Zijn gezichten en uit aller mond Zijn woord. Maar zij, die zich op Hem afstemmen, zij worden Zijn ware dienaren.
God heeft allen uitverkoren, want alle zielen staan de Schepper na en zijn Hem dierbaar.
Hoe groter iemand is in geestelijke ontwikkeling, hoe bescheidener hij wordt.
De groten worden door God Zelf ingewijd en zij bewijzen hun initiatie niet door aanspraak hierop, maar door hun werk.
Ieder ding heeft zijn doel, maar het kennen van het doel stelt ons in staat, er een zo gunstig mogelijk van te maken.
Dit zijn de wijze woorden van Inayat Khan.
Het moderne rekensysteem
De Westerse wereld moest tot in de middeleeuwen wachten voor dit principe in concept van de Arabieren kon worden overgenomen, die het weer te danken hadden aan de geleerden van India. Omstreeks de vijfde eeuw na Chr. wordt in het noorden van India de basis gelegd voor het moderne notatiesysteem van de geschreven cijfers zoals wij dat tegenwoordig gebruiken.
De mogelijkheden van dit systeem werden in de antieke wereld echter nog niet op volle waarde geschat en begrepen. Men kon er nog niet mee rekenen zoals wij dat in de huidige tijd doen.
Voor zeer grote getallen gebruikte men de telwoorden uit het Sanskriet. Het Sanskriet is de Heilige taal van India, die al heel lang ontwikkelde mensen en geleerden uit de verschillende taalgebieden met elkaar verbond. In deze taal kon men getallen uitdrukken in ‘letters’: zo staan voor eka, dvi, tri, catur, panca, sat, sapta, asta en nava de getallen 1 tot met 9:
eka 1 catur 4 sapta 7
dvi 2 panca 5 asta 8
tri 3 sat 6 nava 9
De daarbij behorende telwoorden schreven zij als:
dasa 10
sata 100
shasra 1.000
enzovoort tot en met: padma 1.000.000.000
Schreven zij bijvoorbeeld het getal 636, gelezen van rechts naar links, dan werd dit alsvolgt genoteerd: sat tri dasa sat sata (6 + 3 x 10 + 6 x 100)
In de vijfde eeuw na Chr. ondergaat dit systeem een belangrijke wijziging en besluiten Indische wiskundigen en sterrenkundigen de telwoorden uit de notatie weg te laten.
7629, van rechts naar links gelezen, wordt genoteerd als: nava dvi sat septa (9 + 2 x 10 + 6×100 +7×1000)
Hier is dus sprake van de toepassing van het positionele systeem op gesproken getallen.
De Sanskriet-telwoorden voor de eerste negen enkelvoudige eenheden ontleenden dus voortaan hun waarde aan de plaats die zij in het totale getal innamen. Zo wordt nu het getal: 321: een twee drie
Maar moeilijk wordt het bij het getal: 301 Daar vonden de geleerden het volgende 3 op: waar de NUL moet worden gesproken, geven ze het woord ‘leeg'(sunya) een plaats. Dus wordt het getal 301: een lege drie eka sunya tri
Na de Babyloniërs en in dezelfde tijd de Maya’s vonden dus ook de Indiërs de NUL uit. Daarmee hadden zij alle ingrediënten gevonden om de moderne manier van tellen te creëren:
- duidelijk te onderscheiden cijfers voor eenheden van een tot en met negen
- de kennis van het positionele principe
- de uitvinding van het begrip NUL
Dit gegeven werd echter nog alleen toegepast op de gesproken getallen en niet op de cijfernotatie.
Toen men deze drie ideeën echter ging samenvoegen, vond Het Grote Wonder plaats! De eerste voorbeelden hiervan zijn te vinden in een verhandeling over kosmologie met de titel ‘Lokavibhaaga’, geschreven door de leden van de religieuze Jain-beweging en gepubliceerd op 23 augustus 458. Men schrijft dan 13 107200000 als volgt:
sunya sunya sunya sunya sunya dvi sapta sunya eka tri eka
(leeg leeg leeg leeg leeg twee zeven leeg een drie een),
waarbij bij elk van de reeks de toelichting ‘sthaanakramaad’ (= in de volgorde van plaatsing) te vinden is.
Kennelijk was het werk bedoeld voor een groter publiek. Het bevat eenvoudige terminologie en niet veel technische details. In dit werk werd de wetenschap en de religieuze leer van de Jain-beweging uiteengezet. Het vond een warm onthaal bij wiskundigen en sterrenkundigen.
Deze methode verspreidde zich in de zesde eeuw ook buiten India. Dit kunnen we zien aan inscripties die gevonden zijn in Cambodja, Zuidoost- Vietnam en op Java, die werden gebruikt om data aan te geven. Dit was niet zo verwonderlijk, omdat oude culturen van India-China en Indonesië al sinds het begin van onze jaartelling door India’s beschaving werden beïnvloed. Door verspreiding en verering van de leer van Shiva en het Boeddhisme speelden die landen een bemiddelende rol in de handel in specerijen, zijde en ivoor tussen India en China.
Dichters deden een beroep op de vele synoniemen die het Sanskriet kende voor de telwoorden. Men kon dan ook die telwoorden op talrijke manieren benoemen. Zo kon eka (=1) ook synoniem zijn voor âdi (= begin) of pitaamaha (eerste Vader, Brahma), enzovoort. Door dit synoniemgebruik ontstonden er allerlei spelletjes en bespiegelingen, meestal in lyrische vorm. Een beroemd voorbeeld uit de zevende eeuw is een rekenkundige probleem dat men op een dergelijke wijze vorm geeft, zoiets als onze tien kleine Hindoestaantjes: Een halsketting brak tijdens het liefdespel.
Een snoer parels rolde weg.
De zesde daarvan viel op de grond.
De vijfde bleef liggen op het bed.
De derde werd door de jonge vrouw in veiligheid gebracht.
De tiende door haar geliefde.
Zes parels zaten nog aan het koord.
Zeg mij lezer, hoeveel parels telde het snoer van de geliefden.
Een dergelijke opsomming bood naast esthetisch raffinement ook praktische voordelen. Zoals Roger Billars zegt: ‘Omdat” de Indische sterrenkundige teksten altijd in versvorm waren en men de keuze had uit een aantal synoniemen met het vereiste ritme, maakte het symbool deel uit van het metrum. Wanneer de rekenkundige – los van elke rekenkundige handeling – de verzen voor zichzelf opzegde, lag het getal waarvoor het staat dus even vast verankerd in de tekst als in het geheugen.’ De poëtische vorm van symboolwoorden , als gevolg van het metrum, sloten risico en verwarring uit, die gemakkelijk konden ontstaan wanneer men de cijfersnotitie gebruikte. Deze was nog niet universeel en werd overal anders toegepast. Maar men kon er nog steeds geen berekeningen mee maken.
In het jaar 662 na Chr. leefde in een Syrisch klooster in Qesnesre aan de over van de Eufraat een monnik, Severius Sebokt genaamd. Hij studeerde wijsbegeerte, wiskunde en sterrenkunde en kende de wetenschappelijke prestaties van de Grieken (voorheen was het een deelstad van Bharata), zie naar naam PHERAI), Babyloniërs en Indiërs. Hij schreef een artikel waarin hij uiteenzette dat de Syriers de uitvinders waren van de sterrenkunde en trok de volgende conclusie: “De wetenschap behoort aan alle volkeren en moet toegankelijk zijn voor iedereen en niet een exclusief voorrecht van de Griekse beschaving (Vedische-beschaving).
Hij brak een lans voor de wetenschap van de Hindoes, die zelfs geen Syriërs zijn, over hun subtiele ontdekkingen op het gebied van de astromie (vernuftiger dan die van de Grieken en de Syriërs); hun vlotte wijze van rekenen en hun tijdrekeningen, enzovoort.
De grondslagen van deze Indische rekenkunde vormen dus de basis voor de latere rekenkundige methoden. Het abstracte concept van de NUL moet echter nog geperfectioneerd worden, maar de basis voor de moderne rekenkunde was inmiddels gelegd.
Nul moest een rekenkundig begrip worden. Tot die tijd was de NUL bekend in de betekenis van ‘leegte’ en ‘open ruimte’, met als doel het opvullen van het ontbreken van een bepaalde orde.
Wanneer we nu 1900 in woordsymbolen schrijven volgens het oude systeem van kolommen, dan krijgen we bijvoorbeeld:
atmosfeer leegte openingen maan
0 0 9 1
Bij de volgende stap verdwijnen de kolommen en gaat men de cijfers een waarde toekennen, die afhankelijk is van de plaats die zij innemen in de numerieke weergave.
Het getal 1900 wordt dan niet langer geschreven van rechts naar links, zoals dat gebruikelijk was, maar in de volgorde zoals wij die ook kennen in ons huidige systeem:
maan openingen leegte atmosfeer
1 9 0 0
Deze rekenkundige methode werd door de Arabieren, die bemiddelend optraden tussen India en het Westen, in Europa geintroduceerd. Rond het jaar 1000 kwam een Franse monnik, Gerbert d’Aurillac, geboren in 945 in Aquitqnië, in aanraking met wiskunde en sterrenkunde. Hij legde een grote voorliefde aan de dag voor deze studies en onderscheidde zich zodanig dat men hem in het jaar 999 tot Paus koos: Sylvester II.
De legende vertelt het volgende:
‘De toekomstige Paus van het jaar 1000 was naar Sevilla en Cordoba gereisd en had zich – vermomd als moslim op bedevaart – toegang verschaft tot de Arabische universiteit.’ Maar veel waarschijnlijker is het dat hij in het Christelijke gedeelte van Spanje verbleef in het klooster Santa Maria van Ripoli (een Catalaans stadje), dat een grenspost was tussen de Christelijke en Islamitische wereld. Zeker is dat hij van 972 – 982 te Reims hof hield. Bij zijn terugkeer in Frankrijk beheerste Gerbert in ieder geval de wetenschap van de numerieke notatie, de rekenmethoden en het gebruik van het Astrolabium (hoekmeter). Hij gaf onderricht en introduceerde als eerste de Arabische cijfers in onze cultuur. Maar nog geen begrip NUL en geen uit India afkomstige rekenmethode.
Dat kan hem echter niet verwijten. Bij elke poging die hij deed om de Indisch-Arabische methode door te voeren stuitte hij op grote weerstand. De klerken van die tijd beschouwenden zich als waardige en trouwe erfgenamen van de ‘grote’ Romeinse traditie en ze konden deze superioriteit niet zo maar opgeven voor een andere methode. Zo was de tijd nog niet rijp voor een dergelijke revolutie.
Dat kan men hem echter niet verwijten. Bij elke poging die hij deed om de Indische-Arabische methode door te voeren stuitte hij op grote weerstand. De klerken van die tijd beschouwden zich als waardige en trouwe erfenamen van de ‘grote’ Romeinse tradie en ze konden deze superioriteit niet zo maar opgeven voor een andere methode. Zo was de tijd nog niet rijp voor een dergelijke revolutie.
De rekenmethoden die in die tijd gangbaar waren, bestonden uit hoornen schijfjes waarin Arabische cijfers waren gegrift. Elk schijfje kreeg een naam.
1 Igin 4 Arbas 7 Zenis
2 Andras 5 Quimas 8 Temenias
3 Ormis 6 Caltis 9 Celentis
Men werkte nog steeds met een abacus (=rekentafel) en kolommen en vulde voor de honderdtallen, de NUL dus, niets in: men liet de ruimte leeg.
De eerste verspreiding van cijfers heeft dus niet door middel van boeken plaats gevonden, maar was te danken aan het gebruik van deze hoornen schijfjes. Ze waren voorbehouden aan een kleine groep ingewijden: alleen specialisten konden er mee overweg (tiende tot twaalfde eeuw).
Dus helaas bleef het bij een dagdroom dat deze Paus van het jaar 1000 Europa een heel nieuw tijdperk binnengeleid zou hebben en dat de Christenen dankzij het uit de Islamitisch-Arabische wereld geïmporteerde systeem al snel grote vooruitgang boekten. Er heerste nog een grote onwetendheid en een absoluut conservatisme.
Men noemde de Islamitisch-Arabische tekens ‘de diabolische tekens van die satanskinderen die de Arabieren zijn!.’ En men fluiisterde zelfs dat Gerbert een ‘magïer en alchemist’ was en dat dat hij, om te kunnen proeven van de wetenschap, zijn ziel aan Lucifer had moeten verkopen. Zo opende men in 1648 het graf van Paus Sylvester II, omdat men er zeker van wilde zijn dat zich daarin niet langer duivels uit de hel bevonden.
Dit alles vond plaats ten tijde van Richard Leeuwenhart en de kruistochten. Het doel van deze kruistochten was beslist niet het veroveren van wetenschap, maar dit wel uiteindelijke resultaat. In de jaren 1095-1270 trachten Christelijke ridders hun tradities en geloof met geweld op te leggen aan de ongelovigen van het oosten. De kruisridders keerden echter verrijkt terug door de cultuur die zij in het Heilige land hadden willen bestrijden en men ontdekte met name de rekenmethode van Samanides al-Khowarizmi door cijfers in het zand te trekken in plaats van het van de met zand bestrooide abacus.
Deze ‘Algoristen’, zoals zij genoemd werden, moesten echter wel een NUL gebruiken om de orde van eenheden weer te geven. Zo doordrong dus het systeem van de Arabische cijfers plus NUL en ook de Indische rekenmethode het westen. Door contacten tussen Christen en Moslims rond de Middellandse Zee ontstond er een wederopbloei van de wetenschap.
In Spanje viel er al sinds het einde van de elfde eeuw een toenemende activiteit te bespeuren van vertalers en compilatoren rond vertalingen van Arabische, Grieks en Indische werken. Toen de culturele contacten tussen de twee werelden intensiever werden, wilden de Europeanen zich bekwamen in wiskunde, astronomie, natuurwetenschappen en wijsbegeerte. Het Europa van de twaalfde en dertiende eeuw raakte op de hoogte van Euklides, Ptolemaios, Aristoles, al-Khowarizmi en al-Biruni, en vele anderen. De Christenen begonnen alles waar ze hand op konden leggen in het Latijn te vertalen.
Zo maakten de kruisridders het door hun enthousiasme voor de nieuwe methoden van rekenen dus mogelijk dat de oude rekentafels overboord werden geworpen. Alles raakte in het begin van de dertiende eeuw in een stroomversnelling onder invloed van een Italiaans wiskundige:
Leonardo van Pisa (1170-1250), beter bekend als Fibonacci. Deze bezocht Islamitisch Afrika en reisde naar het Nabije Oosten, bezocht Arabische meesters en liet zich hun numerieke systemen uitleggen, evenals algebraïsch rekenen en de principes van de meetkunde. Zijn Tractaat uit 1202 leverde een grote bijdrage aan de verspreiding van de algebra.
Toch was er nog steeds van fel verzet tegen de nieuwe methoden. Men zag zich in de broodwinning bedreigd en moest oude vertrouwde tradities loslaten. Dat gaf angst. Ook vanuit de kerk, die sinds de wederopbloei in Europa de wetenschap en de wijsbegeerte onder haar hoede had genomen, probeerde men aan de in die tijd heersende sfeer van dogmatiek, mystiek en dienstbaarheid aan de heilige schrift – met als voornaamste doctrines: zonde, hel en zieleheil – vast te houden. Zij eiste dat de ontwikkeling totaal onderworpen bleef aan het Absolute Geloof in haar dogma’s. Studie moest gedaan worden conform haar theologie. Wanneer dit niet gebeurde zou de kerk haar macht kwijtraken, omdat tot dan toe het monopolie op het onderwijs binnen haar gelederen rustte. Onder andere om deze reden werd democratisering van het rekensysteem tegengegaan.
Wilde men met deze rekenmethode omgaan, dan moest men allerlei omwegen maken, zoals geheime codes ontwikkelen en namen bedenken voor het nieuwe systeem. Oorspronkelijk werd de NUL door Leonardo van Pisa in zijn boek ‘Liber Abaci” aangeduid als Zephirum. Het woord onderging in de loop der tijd enkele wijzingen en werd tenslotte verbasterd tot ZERO, de vorm waarin het sinds 1491 wordt gebruikt. Ook de woorden SIFRA, CIFRA, CYFRA, CIFRE, enzovoort hadden deze oorspronkelijke betekenis.
Wanneer je uitgemaakt werd voor ‘Cifre en Algorisme’, dan was dat een grote belediging. Je werd dan namelijk uitgemaakt voor ‘een man (of vrouw) van niets’!
In de Duitse taal kende men ‘die Null’, evenals in het Nederlands: Nul, hetgeen is afgeleid van het Latijnse ‘nulles’ = geen.
Wanneer we het woord ‘cijfer’ figuratief gebruiken, brengt dit ons terug in die chaotische tijd in de Europese geschiedenis waar dit woord de betekenis heeft van ‘geheimschrift’, een gecodeerd schrifte waarin de codes en tekens bijna altijd worden weergegeven door cijfers, in werkelijke zin!
Tot in de achttiende eeuw bleef het rekenen met de schijfjes en kolommen in zwang. Pas bij het uitbreken van de Franse Revolutie wist men de mensen ervan te overtuigen dat rekenen met behulp van cijfers uitstijgt boven het gebruik van de rekentafel. Dat is het moment waarop het gebruik van telramen en rekentafels op scholen en bij de overheid werd verboden.
Het metrieke stelsel bleek een in alle opzichten samenhangend en geschikt systeem te zijn voor het rekenen met cijfers en werd tijdens de Franse Revolutie in het jaar 1792 aangeboden aan alle tijden en alle volkeren tot hun grotere voordeel om alle verschillende bestaande stelsels te vervangen.
De wiskundige Carl Jacobi (1804-1851) vat in zijn werk Discours sur Descartes op schitterende wijze de periode samen die bekend zal worden als Europese Renaissance. Deze periode wordt gekenmerkt door de wederkomst van het Weten en de opbloei van grote universiteiten in West-Europa. Hierin past de tweede kennismaking met de Arabische cijfers, die ditmaal leidde tot algemene verbreiding en tot triomf van de oorsprong Indisch rekenkunst.
Conclusie
Getallen hebben nooit een toren van Babel gekend. Iedereen begrijpt elkaar direct zodra we het over getallen hebben; ze worden over de gehele wereld op dezelfde wijze opgevat. Ook al zijn we niet in staat via de taal een woord met elkaar te wisselen, door middel van het getal vinden we elkaar. Het is op dit ogenblik de enige werkelijke universele taal, door mensen te verstaan, en is dus een begrip van grote menselijke orde.
De Duitser Leopold Krone zei: ‘God heeft het gehele getal geschapen, de rest is het werk van de mens.’ Een de Duitse wijsgeer Lichtenber formuleerde het zo: ‘De mens is begonnen met de principe: elke grootheid is gelijk aan zichzelf en woog tenslotte de zon met de sterren.’
Zoals je uit het voorgaande stuk waarschijnlijk hebt begrepen, zijn getallen zoals wij die heden ten dage kennen pas in de negentiende eeuw gemeengoed geworden. In de numerologie maken we dan gebruik van dit metrieke stelsel. We kunnen met ons huidige numerologische systeem dus geen numerologsiche beschrijving maken van iemand die daarvoor leefde.
De waarheid is onbegrensd en onvergelijkelijk- daarom kan alleen de Waarheid zijn eigen bestaan kennen, genieten en verwezenlijken.
De ziel is licht, het denkvermogen is licht en het lichaam is licht—licht in verschillende graden;– en het is in deze verhouding dat de mens verbonden is met de planeten en de sterren.
De oneindige God is het Zelf van God: en alles wat geopenbaard is in naam en vorm, is het uiterlijk aan zicht van God.
Dit zijn de wijze woorden van Inayat Khan.
Numerologie in woord, beeld en getal
Danka en Hans Hüsken
Copyright @ 1998 UItgeverij Akasha, Eeserveen, The Netherlands/
Danka en Hans Hüsken, Amstelveen, The Netherlands.
Aan de lezers wens ik heel veel wijsheid en leesplezier toe.
Met de vriendelijke groeten.
Khimradj Pherai